Soit un triangle rectangle. Un des côtés adjacent à l’angle droit mesure 12 cm. Sachant que les mesures des deux autres côtés sont des entiers naturels, quelles sont-elles ?

Si a est la longueur de l’hypoténuse et b celle de l’autre côté on a
a²=b²+144
a²- b²=144
b-a)(b+a)=144
On factorise 144 en produit de 2 nombres pairs car ils ont même parité et l’un des deux est pair

b-a = 2 b+a = 72
b-a = 4 b+a = 36
b-a = 6 b+a = 24
On a donc
(a , b)=(35,37), (16,20), (9,15), (5,13), qui sont les 4 solutions possibles.

Je trouve quatre solutions de la manière suivante : si a=12 et b inconnu sont les deux côtés de l’angle droit ; avec c l’hypoténuse, on a a²+b²=c², soit c²-b²=144, ou encore (c-b)(c+b)=144. Les produits possibles de deux entiers donnant 144 sont 1x144, 2x72, 3x48, 4x36, 6x24, 8x18, 9x16, 12x12. Bien sûr c-b doit être le plus petit des deux facteurs et c+b le plus grand ; de plus, les deux facteurs doivent être de même parité (sinon on aurait des valeurs décimales pour b et c). Avec les paires possibles qui restent, à savoir 2x72, 4x36, 6x24, 8x18, on obtient respectivement les couples (b ;c) suivants : (35 ;37), (16 ;20), (9 ;15), (5 ;13).

Résoudre : $ \sqrt{729/a} $ = 9